Câu 59 trang 40 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh đẳng thức :

a. \(\left( {{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} + 8}} - {{2{x^2}} \over {8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right)\left( {1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \right) = {{x + 1} \over {2x}}\)

b. \(\left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.\left( {{{x + 1} \over {3x}} - x - 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over x} = {{2x} \over {x - 1}}\)

c. \(\left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {{1 \over x} + 1} \right) + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over {{x^3}}} = {x \over {x - 1}}\)

Giải:

a. Biến đổi vế trái :

\(\left( {{{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} + 8}} - {{2{x^2}} \over {8 - 4x + 2{x^2} - {x^3}}}} \right)\left( {1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - {{2{x^2}} \over {4\left( {2 - x} \right) + {x^2}\left( {2 - x} \right)}}} \right]{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}}  \cr  &  = \left[ {{{{x^2} - 2x} \over {2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - {{2{x^2}} \over {\left( {2 - x} \right)\left( {4 + {x^2}} \right)}}} \right]{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}}  \cr  &  = {{\left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {2 - x} \right) - 4{x^2}} \over {2\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{{x^2} - x - 2} \over {{x^2}}}  \cr  &  = {{2{x^2} - {x^3} - 4x + 2{x^2} - 4{x^2}} \over {2\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{{x^2} - 2x + x - 2} \over {{x^2}}}  \cr  &  = {{ - x\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {2\left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \over {{x^2}}}  \cr  &  = {{x\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}.{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2}}} = {{x + 1} \over {2x}} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

b. Biến đổi vế trái:

 \(\eqalign{  & \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.\left( {{{x + 1} \over {3x}} - x - 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over x}  \cr  &  = \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.{{x + 1 - 3x\left( {x + 1} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}}  \cr  &  = \left[ {{2 \over {3x}} - {2 \over {x + 1}}.{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 - 3x} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}}  \cr  &  = \left[ {{2 \over {3x}} - {{2\left( {1 - 3x} \right)} \over {3x}}} \right].{x \over {x - 1}} = {{2 - 2 + 6x} \over {3x}}.{x \over {x - 1}} = 2.{x \over {x - 1}} = {{2x} \over {x - 1}} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.

c. Biến đổi vế trái :

\(\eqalign{  & \left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.\left( {{1 \over x} + 1} \right) + {1 \over {{x^2} + 2x + 1}}.\left( {{1 \over {{x^2}}} + 1} \right)} \right]:{{x - 1} \over {{x^3}}}  \cr  &  = \left[ {{2 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}.{{x + 1} \over x} + {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x - 1}}  \cr  &  = \left[ {{2 \over {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + {{{x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right].{{{x^3}} \over {x - 1}} = {{2x + {x^2} + 1} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^3}} \over {x - 1}}  \cr  &  = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.{{{x^3}} \over {x - 1}} = {x \over {x - 1}} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải, vậy đẳng thức được chứng minh.