Câu 65 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng :

a. Giá trị của biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1

 b. Giá trị của biểu thức \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) bằng 1 khi \(x \ne 0,x \ne  - 3,x \ne 3,x \ne  - {3 \over 2}\)

Giải:

a. \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)

Biểu thức \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}\) xác định khi \(x \ne 0\)

Biểu thức \({{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)\) xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)

hay xác định khi \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 1\)

Vậy với điều kiện \(x \ne 0\) và\(x \ne 1\)

Ta có : \({\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}\left( {{1 \over x} + 1} \right)} \right]\)

\(\eqalign{  &  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left[ {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over {x + 1}}.{{1 + x} \over x}} \right]  \cr  &  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:\left( {{{{x^2} + 1} \over {{x^2}}} + {2 \over x}} \right) = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} \over {{x^2}}}  \cr  &  = {\left( {{{x + 1} \over x}} \right)^2}:{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}} = {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{x^2}}}.{{{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 \cr} \)

b. Biểu thức : \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\) xác định khi \(x - 3 \ne 0,2x + 3 \ne 0,{x^2} - 3x \ne 0\) và \({x^2} - 9 \ne 0\)

hay \(x \ne 3;x \ne  - {3 \over 2};x \ne 0;x \ne 3\) và \(x \ne  \pm 3\)

Vậy điều kiện \(x \ne 0,x \ne 3,x \ne  - 3\) và \(x \ne  - {3 \over 2}\)

Ta có: \({x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left( {{{x + 3} \over {{x^2} - 3x}} - {x \over {{x^2} - 9}}} \right)\)

\(\eqalign{  &  = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 3x} \over {2x + 3}}.\left[ {{{x + 3} \over {x\left( {x - 3} \right)}} - {x \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}} \right]  \cr  &  = {x \over {x - 3}} - {{x\left( {x + 3} \right)} \over {2x + 3}}.{{{{\left( {x + 3} \right)}^2} - {x^2}} \over {x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}  \cr  &  = {x \over {x - 3}} - {{{x^2} + 6x + 9 - {x^2}} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {x \over {x - 3}} - {{3\left( {2x + 3} \right)} \over {\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)}}  \cr  &  = {x \over {x - 3}} - {3 \over {x - 3}} = {{x - 3} \over {x - 3}} = 1 \cr} \)