Câu 80 trang 61 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho a > 0 và b > 0, chứng tỏ rằng

\(\left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4\)

Giải:

Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \ge 0  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab + 2ab \ge 2ab  \cr  &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \cr} \)

Vì a > 0, b > 0 nên ab ≥ 0 \( \Rightarrow {1 \over {ab}} > 0\)

\(\eqalign{  & \left( {{a^2} + {b^2}} \right).{1 \over {ab}} \ge 2ab.{1 \over {ab}}  \cr  &  \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 2  \cr  &  \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 2 + 2  \cr  &  \Leftrightarrow 2 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow 1 + 1 + {a \over b} + {b \over a} \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow a\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) + b\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \cr} \)